参考书目

  • 张德学 《一般拓扑学基础》 科学出版社
  • 熊金城 《点集拓扑讲义》 高教出版社
  • 尤承业 《基础拓扑学讲义》北京大学出版社
  • James R. MUnkres 著 熊金城 吕杰 谭枫 译《拓扑学》 机械工业出版社
  • J.L.Kelly 《General Topology》 Spring

集合,映射,关系

集合

  1. 集合\( X \)的幂集\( \mathscr{P}(X) = \{ A \,|\, A \subseteq X \} \)
    集合的笛卡尔乘积 \( A \times B = \{ (x,y) \,|\, x\in A, y \in B \} \)

  2. 集合之间的运算
    (1)幂等性: \( A \cap A = A, A \cup A = A \)
    (2)交换性: \( A \cap B = B \cap A, A \cup B = B \cup A \)
    (3)结合律: \( A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C , A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \)
    (4)分配律:
        \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
        \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
        \( A \cap (\cup_{j \in J}B_{j}) = \cup_{j \in J}(A \cap B_{j}) \)
        \( A \cup (\cap_{j \in J}B_{j}) = \cap_{j \in J}(A \cup B_{j}) \)
    (5)摩根律:
        \( X - (\cup_{j \in J}A_{j}) = \cap_{j \in J}(X - A_{j}) \)
        \( X - (\cap_{j \in J}A_{j}) = \cup_{j \in J}(X - A_{j}) \)
    (6) \( A \times (\cap_{j \in J}B_{j}) = \cap_{j \in J}(A \times B_{j}) , A \times (\cup_{j \in J}B_{j}) = \cup_{j \in J}(A \times B_{j})\)
    (7) \( A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B \)

映射

  1. 定义: \( f:X \to Y;\; \forall x \in X, \exists y \in Y, s.t. y = f(x) \)
  2. 扩张:
        \( f^{\to}: \mathscr{P}(X) \to \mathscr{P}(Y), f^{\to}(A) = \{ f(x) \;|\; x \in A \} \)
        \( f^{\gets}: \mathscr{P}(Y) \to \mathscr{P}(X), f^{\gets}(B) = \{ x \;|\; f(x) \in B \} \)

  3. 性质
    (1) \( f^{\to}(\cup_{j \in J}A_{j}) = \cup_{j \in J}f^{\to}(A_{j}) \)
    (2) \( f^{\to}(\cap_{j \in J}A_{j}) \subseteq \cap_{j \in J}f^{\to}(A_{j}) \)
    (3) \( f^{\gets}(\cup_{j \in J}A_{j}) = \cup_{j \in J}f^{\gets}(A_{j}) \)
    (4) \( f^{\gets}(\cap_{j \in J}A_{j}) = \cap_{j \in J}f^{\gets}(A_{j}) \)
    (5) \( f^{\to}(A) \subseteq B \, \Leftrightarrow \, A \subseteq f^{\gets}(B) \)
    (6) \( f^{\gets} \cdot f^{\to}(A) \supseteq A \),等号成立当且仅当 \( f \) 为单射
    (7) \( f^{\to} \cdot f^{\gets}(B) \subseteq B \),等号成立当且仅当 \( f \) 为满射
    备注:注意到性质(2)和性质(4)的区别。这里给出性质(2)的证明。
    证明: \( f^{\to}(\cap_{j \in J}A_{j}) = \{ f(x) \;|\; x \in \cap_{j \in J}A_{j}\} \)
    对任意的 \(i \in J \) 有 \( \{ f(x) \;|\; x \in \cap_{j \in J}A_{j}\} \subseteq \{ f(x) \;|\; x \in A_{i}\}\)
    \( \therefore \{ f(x) \;|\; x \in \cap_{j \in J}A_{j}\} \subseteq \cap_{j \in J} \{ f(x) \;|\; x \in A_{j}\}\)这就证明了(2)中的包含关系成立。
    然后要证明反过来包含关系不成立,只要找个反例即可。令\( f: \{0,1 \} \to \{ 0 \}\) 满足 \( f(0) = 0, f(1) = 0\) ,取 \( A_{1} = \{ 0 \}, A_{2} = \{ 1 \} \) 即可。

关系

  1. 定义: 从 \( X \) 到 \( Y \) 的一个关系是指 \( R \subseteq X \times Y \),特别的,当 \( Y = X \) 时,关系 \( R \) 称为 \( X \) 上的关系。
    事实上,映射 \( f \) 可以看成 \( X \times Y \) 上的二元关系。\( f:X \to Y ;\; \{ (x, f(x))\,|\, x \in X \} \subseteq X \times Y \)

  2. 关系类型:设 \( R \) 是 \( X \) 上的关系(\( R \subseteq X \times X \)),称 \( R \) 是
    (1)自反的: \( (x,x) \in R,\, \forall x \in X \)
    (2)传递的: \( (x,y) \in R \) 并且 \( (y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R\)
    (3)对称的: \( (x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R \)
    (4)反对称的: \( (x,y) \in R \) 并且 \( (y,x) \in R \Rightarrow x = y \)
    备注:
    (i)同时满足(1),(2),(3)的关系叫作等价关系
    (ii)同时满足(1),(2),(4)的关系叫做偏序关系
    (iii)同时满足(1),(2) 的关系叫作预序关系

拓扑空间

拓扑结构

  1. 定义:若 \( \mathscr{T} \subseteq \mathscr{P}(X) \) 满足:
        (T1) \( \varnothing, X \in \mathscr{T} \)
        (T2) \( A,B \in \mathscr{T} \Rightarrow A \cap B \in \mathscr{T} \)
        (T3) \( \{ A_{j} \}_{j \in J} \subseteq \mathscr{T} \Rightarrow \cup_{j \in J} A_{j} \in \mathscr{T} \)
    则称 \( \mathscr{T} \) 是 \( X \) 上的一个拓扑(结构)。 \( (X, \mathscr{T}) \) 称为一个拓扑空间。
    备注:若 \( A \in \mathscr{T} \),称 \( A \) 是开集。若 \( A^{c} \in \mathscr{T} \),称 \( A \) 是闭集。

  2. 例子
    (1) \( (X, \mathscr{P}(X)) \) 称为离散拓扑。
    (2) \( (X, \{ \varnothing, X \}) \) 称为平庸拓扑。
    (3) \( (X, \mathscr{T}) \) 其中 \( \mathscr{T} = \{A \, | \, X - A 是有限集 \} \cup \{ \varnothing \} \)。\( (X, \mathscr{T}) \) 称为有限补拓扑。
    (4) \( (R, \mathscr{T}_{标}) \) 其中 \( \mathscr{T}_{标} = \{U \, | \, \forall x \in U, \exists \epsilon > 0 , s.t.\, (x-\epsilon, x + \epsilon) \subseteq U\} \)。\( (R, \mathscr{T}_{标}) \)称为实数轴 \( R \) 上的标准拓扑。

  3. 定义:若 \( \mathscr{T}_{1}, \mathscr{T}_{2} \) 都是 \(X\) 上的拓扑,如果 \( \mathscr{T}_{1} \subseteq \mathscr{T}_{2} \),则称 \( \mathscr{T}_{2} \) 比 \( \mathscr{T}_{1} \) 细,\( \mathscr{T}_{1} \) 比 \( \mathscr{T}_{2} \) 粗。

  1. 定义: 设 \( (X, \mathscr{T}) \) 是一个拓扑空间, \( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{T} \)。若 \( \forall A \in \mathscr{T},\, \exists\, \mathscr{B}_{A} \subseteq \mathscr{B}, s.t.\, A = \cup_{B \in \mathscr{B}_{A}} B \)。则称 \( \mathscr{B} \) 为 \( (X, \mathscr{T}) \) 的一个基,也称为 \( \mathscr{T} \) 的基。

  2. 例子:设 \( \mathscr{B} \) 为实直线上所有开区间 \( (a,b) = {x \,|\, a < x < b} \) 的族。则 \( \mathscr{B} \) 为 \( (R, \mathscr{T}_{标}) \) 的一个基。

  3. 基公理:若 \( \mathscr{B} \subseteq \mathscr{P}(X) \),满足:
        (B1) \( \cup_{B \in \mathscr{B}}B = X \)
        (B2) 若 \( B_{1},B_{2} \in \mathscr{B},对 \forall x \in B_{1} \cap B_{2},\exists B_{3} \in \mathscr{B}, \, s.t.\, x \in B_{3} \subseteq B_{1} \cap B_{2} \)
    则存在 \( X \) 上唯一的一个拓扑以 \( \mathscr{B} \) 为基。
    证明:
    构造 \( \mathscr{T} = \{ A \in \mathscr{P}(X)\,|\, \exists \mathscr{B}_{A} \subseteq \mathscr{B}\; s.t.\, A = \cup_{B \in \mathscr{B}_{A}}B \} \),则
    (1) \( \mathscr{T} \) 是拓扑。
    (2) \( \mathscr{T} \) 以 \( \mathscr{B} \) 为基。
    (3) 以 \( \mathscr{B} \) 为基的拓扑是唯一的。
    首先,由性质(B1)可知,\( X = \cup_{B \in \mathscr{B}}B \in \mathscr{T}\),同时 \( \varnothing \in \mathscr{T} \),这验证了拓扑的第一条性质。
    \( \forall A,B \in \mathscr{T} \Leftrightarrow \exists \mathscr{B}_{A}, \mathscr{B}_{B},\,s.t.\, A = \cup_{C \in \mathscr{B}_{A}}C, B = \cup_{D \in \mathscr{B}_{B}}D, \)
    \( \therefore A \cap B = \cup_{C \in \mathscr{B}_{A}}\cup_{D \in \mathscr{B}_{B}}(C \cap D) \)
    \( \therefore \forall x \in A \cap B \Rightarrow \exists C,D \in \mathscr{B} \,s.t.\, x \in C \cap D \Rightarrow \exists E_{x} \in \mathscr{B}\,s.t.\, x \in E_{x} \subseteq C \cap D \subseteq A \cap B \)
    \( \therefore A \cap B = \cup_{x \in A \cap B} E_{x} \)
    \( \therefore A \cap B \in \mathscr{T} \),这验证了拓扑的第二条性质。
    对 \( \forall \{ A_{j} \}_{j \in J} \subseteq \mathscr{T} \)
    \( \because \mathscr{B}_{A_{j}} \subseteq \mathscr{B} \)
    \( \therefore \mathscr{B}_{*} := \cup_{j \in J}\mathscr{B}_{A_{j}} \subseteq \mathscr{B} \)
    \( \therefore \cup_{j \in J}A_{j} = \cup_{B \in \mathscr{B}_{*}}B \in \mathscr{T} \),这验证了拓扑的第三条性质。
    综上所述,\( \mathscr{T} \) 是拓扑。
    显然,这样定义的\( \mathscr{T} \) 以 \( \mathscr{B} \) 为基。
    假设 \( \mathscr{T}^{*} \) 也已 \( \mathscr{B} \) 为基。下证 \( \mathscr{T}^{*} = \mathscr{T} \)。
    \( \forall A \in \mathscr{T}^{*} \Leftrightarrow \exists \mathscr{B}_{A} \subseteq \mathscr{B},\,s.t.\, A = \cup_{B \in \mathscr{B}_{A}}B \Leftrightarrow A \in \mathscr{T} \)

  4. 例子
    (1) \(R\) 上以 \( \{ [a,b)\,|\, a < b , a,b \in R\} \) 为基生成的拓扑,称作 Sorgenfrey 拓扑。
    (2) \(R^{2}\) 上则以 \( \{ [a,b)\times[c,d)\,|\, a < c, b < d, a,b,c,d \in R\} \)

子基

  1. 定义: 设 \( (X, \mathscr{T}) \) 是一个拓扑空间, \( \mathscr{A} \subseteq \mathscr{T} \)
    若 \( \{ A_{1} \cap A_{2} ... \cap A_{n} \,|\, A_{i} \in \mathscr{A},n \in \mathbb{N} \} \subseteq \mathscr{T} \) 是 \( \mathscr{T} \) 的一个基,则称 \( \mathscr{A} \) 是 \( \mathscr{T} \) 的一个子基。

  2. 例子
    (1) \( \{ (-\infty , a), [a, + \infty) \,|\, a \in R \} \) 是 Sorgenfrey 拓扑的子基。
    (2) \( \{ (-\infty , a), (a, + \infty) \,|\, a \in R \} \) 是标准拓扑的子基。

  3. 子基公理: 若 \(\mathscr{A} \subseteq \mathscr{P}(X) \) 满足 \( \cup_{A \in \mathscr{A}}A = X \),则 \( X \) 上存在唯一一个拓扑 \( \mathscr{T} \) 以 \( \mathscr{A} \) 为子基。

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