基本陈述

定义. \( H^{-1}(U) \) 是 \( H^{1}_{0}(U) \) 空间的对偶空间。换而言之 \( H^{-1}(U) = H^{1}_{0}(U)^{*} \)。设 \( f \) 属于 \( H^{-1}(U) \),则 \( f \) 是 \( H^{1}_{0}(U) \) 上的线性有界泛函。

符号. 使用 \( < , > \) 指示 \( H^{-1}(U) \) 和 \( H^{1}_{0}(U) \) 的配对。也就是 \( H^{-1}(U) \) 中的元素 \( f \) 作用在 \( H^{1}_{0}(U) \) 元素 \( u \) 中, \( < f,u > = f(u) \)。

定义. 由泛函分析中有界线性泛函的范数定义,对 \( f \in H^{-1}(U) \): $$ \Vert f \Vert_{H^{-1}(U)} := \sup\{ < f,u > | u \in H^{1}_{0}(U), \Vert u \Vert_{H^{1}_{0}(U)} \leq 1 \} $$

里斯(Riesz)表示定理. 设 \( X \) 是实希尔伯特(Hilbert)空间,有内积 \( ( , ) \)。 \( f \) 是 \( X \) 上连续线性泛函,那么存在唯一的 \( z \in X \),使得对每个 \( x \in X \),有 $$ < f,x > = f(x) = (x, z) $$ 并且 \( \Vert f \Vert = \Vert z \Vert \)。

\( H^{-1} \) 空间的刻画

  1. 设 \( f \in H^{-1}(U) \)。那么存在函数 \( f^{0},f^{1},...,f^{n} \in L^{2}(U) \),并且有: $$ < f,v > = \int_{U}f^{0}v + \sum\limits_{i=1}^{n}f^{i}v_{x_{i}}dx \tag{1}$$

  2. 进一步, $$ \Vert f \Vert_{H^{-1}(U)} = \inf\left\{ \left( \int_{U}\sum\limits_{i=0}^{n}\vert f^{i} \vert^{2}dx \right)^{1/2} \Big\vert f^{0},f^{1},...,f^{n} 使得 (1) 式成立 \right\} $$

  3. 特别的,有 $$ (v,u)_{L^{2}(U)} = < u,v > \tag{2}$$

对所有的 \( u \in H^{1}_{0}(U), v \in L^{2}(U) \subset H^{-1}(U) \)

定义. 当(1)式成立的时候我们有: $$ f = f^{0} - \sum\limits_{i=1}^{n} f^{i}_{x_{i}} $$ 这可以由分部积分公式结合边界性质得到。

证明

  1. 式(1)注意到 \( H_{0}^{1}(U) \) 是希尔伯特(Hilbert)空间,内积定义成\( (u,v) := \int_{U} Du \cdot Dv + uv dx \)。设 \( f \in H^{-1}(U) \),然后应用里斯(Reisz)表示定理可知,存在唯一的函数 \( u \in H^{1}_{0}(U) \) 满足 \( (u,v) = < f,v > \) 对所有的 \( v \in H^{1}_{0}(U) \) 成立。也就是 $$ \int_{U} Du \cdot Dv + uv dx = < f,v > \tag{3}$$ 对所有的 \( v \in H^{1}_{0}(U) \)。当 $$\begin{cases} f^{0} & = u \\ f^{i} & = u_{x_{i}}\quad (i=1,2,...,n) \end{cases}$$ 时,(1) 式成立。

  2. 设 \( f \in H^{-1}(U) \),存在函数 \( g^{0},g^{1},...,g^{n} \in L^{2}(U) \),使得 $$ < f,v > = \int_{U}g^{0}v + \sum\limits_{i=1}^{n}g^{i}v_{x_{i}}dx. \tag{5}$$ 在 (3) 式中令 \( v = u \) 并且使用式(5),再应用 Hölder 不等式,我们有: $$ \int_{U}\vert Du \vert^{2} + \vert u \vert^{2} dx \leq \int_{U}\sum\limits_{i=0}^{n}\vert g^{i} \vert^{2} dx$$ 结合(4)式有: $$ \int_{U}\sum\limits_{i=0}^{n}\vert f^{i} \vert^{2} dx \leq \int_{U}\sum\limits_{i=0}^{n}\vert g^{i} \vert^{2} dx \tag{6}$$

  3. (1)式应用 Hölder 不等式有: $$ \vert < f,v > \vert \leq \left( \int_{U}\sum\limits_{i=0}^{n}\vert f^{i} \vert^{2} dx \right)^{1/2} $$ 当 \( \Vert v \Vert_{H_{0}^{1}(U)} \leq 1 \) 时。故 $$ \Vert f \Vert_{H^{-1}(U)} \leq \left( \int_{U}\sum\limits_{i=0}^{n}\vert f^{i} \vert^{2} dx \right)^{1/2} $$ 最后设 \( v = \frac{u}{\Vert u \Vert_{H^{1}_{0}(U)}} \) 得到不等式是可达的。这就证明了定理的第二条。

  4. 定理第三条由定理第一条可以得到。

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